π絕對(duì)是數(shù)學(xué)界的頂流了。有人給它過(guò)節(jié)（就是今天啦），有人為它寫歌，1897年，美國(guó)印第安納州的一項(xiàng)法案還曾試圖更改它的值，一度成為坊間笑談。

事情的起因是這樣的，印第安納州有個(gè)醫(yī)生叫愛(ài)德華·古德溫（Edward J. Goodwin），這人喜歡在業(yè)余時(shí)間研究數(shù)學(xué)。古德溫的數(shù)學(xué)之路起點(diǎn)頗高，瞄準(zhǔn)的是古希臘三大難題之一的“化圓為方”，他苦心鉆研十幾載終于搞出了一個(gè)理論，但這個(gè)理論漏洞百出，還有個(gè)很大的副作用：在這套理論下算出來(lái)的π=3.2。

(資料圖)

用今天的話說(shuō)，這就是重新定義了圓周率

古德溫對(duì)自己的理論信心爆棚，他通過(guò)一位參議員提交了議案，表示發(fā)現(xiàn)了一項(xiàng)新的數(shù)學(xué)原理，為了支持教育事業(yè)，我們要立法承認(rèn)它的真實(shí)性，以后這個(gè)數(shù)學(xué)原理就能在本州免費(fèi)使用啦。這就是大名鼎鼎的246號(hào)法案，又稱“圓周率法案（Indiana Pi Bill）” ，法案中憤怒地譴責(zé)了當(dāng)時(shí)使用的π值“在實(shí)際應(yīng)用中存在漏洞且具有誤導(dǎo)性”，強(qiáng)調(diào)了3.2的正統(tǒng)地位。

明眼人都能看出這事有多不靠譜，但邪門的是，當(dāng)時(shí)這項(xiàng)法案以67:0的巨大優(yōu)勢(shì)獲得眾議院一致投票通過(guò)，眼看就要釀成大禍。就在危急時(shí)刻，來(lái)自普渡大學(xué)的一位教授對(duì)該州參議員們進(jìn)行了緊急科普，才沒(méi)有讓這項(xiàng)法案通過(guò)。

這個(gè)故事的諷刺之處在于，早在1882年，數(shù)學(xué)家就已經(jīng)證明，“化圓為方”這個(gè)問(wèn)題是無(wú)法用尺規(guī)完成的。而對(duì)于圓周率，一千多年以前就已經(jīng)有更為精確的估計(jì)值了。

約率與密率

據(jù)《隋書(shū)?歷律志》記載，我國(guó)古代的大數(shù)學(xué)家祖沖之很早就計(jì)算出圓周率后第7位，領(lǐng)先世界一千多年，這在算盤都沒(méi)有的當(dāng)時(shí)是很難想象的。

祖沖之還求得了π的約率（π≈22/7≈3.14）和密率（π≈355/113≈3.1415927）。其中的密率在西方直到1573才由德國(guó)人奧托得到，1625年發(fā)表于荷蘭工程師安托尼斯的著作中，歐洲人不知道是祖沖之先得出密率的，將密率稱為安托尼斯率。

位于深圳人才公園的π橋，請(qǐng)欣賞橋上的諧音梗 | 作者供圖

對(duì)于π的探索沒(méi)有止步于此，古今中外的數(shù)學(xué)家依然充滿熱忱，前赴后繼地把它求出了新意，求出了花樣。

扔針的人

蒲豐（Buffon）是一位法國(guó)數(shù)學(xué)家。1777年的一天，蒲豐邀請(qǐng)朋友們到家里做客，他在白紙上畫(huà)了一條條等距離的平行線，然后請(qǐng)朋友們把一些長(zhǎng)度只有平行線間距一半的針隨意扔在紙上。結(jié)果，在2122次投擲中，針與平行線相交了704次。蒲豐算出2212÷704≈3.142，并宣布這就是圓周率π的近似值，而且投的次數(shù)越多越精確。這就是著名的蒲豐投針問(wèn)題，是一種通過(guò)概率方法來(lái)解決復(fù)雜計(jì)算的妙招。

蒲豐投針

證明這個(gè)問(wèn)題也很簡(jiǎn)單，只要具備簡(jiǎn)單的三角函數(shù)和積分知識(shí)，就可以算出，忽略針的寬度，針與平行線相交的概率p為：

其中，h是平行線間距，l是針長(zhǎng)。當(dāng)針長(zhǎng)是平行線間距一半時(shí)，概率p的倒數(shù)恰好就是圓周率的值。

但是，真如蒲豐所說(shuō)，投的次數(shù)越多越精確，人類為什么要窮經(jīng)皓首地嘗試用各種方法計(jì)算圓周率呢？尤其是有了大型計(jì)算機(jī)之后，直接模擬扔針不就好了嗎。先不說(shuō)計(jì)算機(jī)只能產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)的問(wèn)題，如果我們真的動(dòng)手開(kāi)始扔針操作，很可能會(huì)先被精度問(wèn)題虐到哭。

提高精度的戰(zhàn)役

如果投針的人足夠幸運(yùn)的話，投針次數(shù)每增加10倍，結(jié)果的精度就可以提高一位。例如扔100次，剛好有31次壓線，扔1000次，剛好有314次壓線……那么，他要扔出31415927次壓線，就需要扔100000000次了，每秒扔一次的話需要3.17年。這看起來(lái)還是可以接受的。

其實(shí)，歷史上愿意去嘗試這個(gè)問(wèn)題的大有人在，然而從他們的計(jì)算結(jié)果中（下表）可以看到，結(jié)果并不精確。即使投擲了5000次，連小數(shù)點(diǎn)后兩位都算不準(zhǔn)，這是為什么呢？

歷史上的投針試驗(yàn)| csdn.net

原因就在于，他們不夠“幸運(yùn)”，試驗(yàn)結(jié)果精度的提高，除了與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān)，還要受到方差的影響。方差越大，要提高精度，就需要付出更大的工作量。經(jīng)典的蒲豐投針問(wèn)題中，投針次數(shù)每增加約100倍，結(jié)果的精度才提高1位（見(jiàn)下表）。那么如果他要精度達(dá)到小數(shù)點(diǎn)后7位，至少需要投擲10^14次，這大概需要三百多萬(wàn)年了，就是愚公來(lái)了也算不出啊。

計(jì)算機(jī)模擬的投針試驗(yàn) | 作者供圖

于是數(shù)學(xué)家考慮，我增加一個(gè)維度，是否可以提高結(jié)果的精度呢？改進(jìn)型的投針問(wèn)題出現(xiàn)了，如果把地上的平行線改成方格，那么結(jié)果還和圓周率有關(guān)嗎？

改進(jìn)的投針問(wèn)題

好消息是：公式仍與圓周率有關(guān)，而且方差也減小了，針與平行線相交的概率p變?yōu)椋?/p>

壞消息是：精度只提高了大約不到一位。要算出密率，保守估計(jì)也要一百萬(wàn)年。

“蒙”的哲學(xué)

也許有人認(rèn)為，我們可以把格子畫(huà)得更多，用更多的針同時(shí)投下去，豈不是提高了投針的效率。但有位大牛卻說(shuō)：“格子多點(diǎn)可以，但投針太麻煩了。”他沿著格子的輪廓畫(huà)了一個(gè)圓。細(xì)心的讀者可以發(fā)現(xiàn)，這時(shí)如果下起雨來(lái)，那么打在圓內(nèi)方格的雨點(diǎn)數(shù)量，和打在圓外接正方形的雨點(diǎn)數(shù)量之比，就是圓和外接正方形的面積比（π/4）。在一個(gè)邊長(zhǎng)100米的正方形里，畫(huà)出邊長(zhǎng)一厘米的方格，假設(shè)每平方米每秒落下1000滴雨，那么大約下四個(gè)多月的雨咱們就能看到結(jié)果了。

雨滴法算圓周率

事實(shí)上，這個(gè)數(shù)雨滴的方法還有個(gè)響亮的名字，叫做蒙特卡洛法（Monte Carlo method）。這個(gè)方法可不是叫蒙特卡洛的人提出的，而是著名數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼用賭城蒙特卡洛命名的，所以這個(gè)方法的精髓就是蒙（隨機(jī)數(shù)）。蒙特卡洛法可以通過(guò)重復(fù)簡(jiǎn)單步驟的方法，化整為零來(lái)計(jì)算復(fù)雜的問(wèn)題。而我們之前提到的蒲豐投針問(wèn)題，就被認(rèn)為是蒙特卡洛法的起源之一。

用蒙特卡洛法計(jì)算圓周率 |Think Twice

有人也許會(huì)問(wèn)，這不還是需要下幾個(gè)月的雨才能算個(gè)圓周率嗎？這么不靠譜的方法，到底有什么用呢？

其實(shí)，很多科學(xué)和工程上的問(wèn)題，都是利用這一方法解決的。對(duì)于精度要求不高，“雨滴”又量大易得時(shí)，蒙特卡洛法的優(yōu)勢(shì)就體現(xiàn)出來(lái)了。例如盧瑟福通過(guò)著名的α粒子散射實(shí)驗(yàn)揭示了原子的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，就是用到了這一方法的思想。

α粒子散射實(shí)驗(yàn)原理

現(xiàn)在的人們都知道原子是由居于中心的原子核和電子組成的，其中原子核只占原子極小的體積。但即使利用最先進(jìn)的顯微鏡，也看不到原子核。那么又是如何知道這一結(jié)構(gòu)的呢？盧瑟福正是巧妙地利用了蒙特卡洛法的思想，不過(guò)他把雨滴換成了小得多的α粒子。他發(fā)現(xiàn)，射向金原子的α粒子，只有八千分之一發(fā)生了大角度偏轉(zhuǎn)，似乎打中了什么東西。通過(guò)對(duì)偏轉(zhuǎn)角、電荷和質(zhì)量的計(jì)算，他甚至得出了原子核的尺寸，與現(xiàn)代公認(rèn)的尺寸比較接近。不通過(guò)直接觀測(cè)，就測(cè)定出原子核尺寸，確實(shí)是令人贊嘆的。

α粒子散射實(shí)驗(yàn)示意圖 |Don"t Memorise

很多科研和工程上看似復(fù)雜的問(wèn)題，其實(shí)換個(gè)思路，化整為零就可以實(shí)現(xiàn)。概率雖然有難以捉摸的脾氣，但是在大數(shù)據(jù)面前，往往會(huì)繳械投降。不論是蒲豐投針，還是復(fù)雜圖形面積的蒙特卡洛法計(jì)算，都是對(duì)概率最好的應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)

[1]中國(guó)古算解趣_郁祖權(quán)

[2]Buffon投針中針長(zhǎng)對(duì)模擬精度的影響_王合玲

[3]改進(jìn)的蒲豐投針問(wèn)題探究_代永嘉

[4]維基百科-布豐投針問(wèn)題

[5]維基百科-蒙特卡羅方法

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